1. 数理金融（六）

关于股票价格的连续时间 随机过程

一个随机过程w(t) 称为 标准布朗运动，如果满足以下性质：

w(0)=0,w(t)关于时间连续
在给定的长度为 $\Delta t$ 的时间区间上， w(t)的变化量 $\Delta w$ 服从期望为0、方差为 $\Delta t$ 的正态分布，即 $\Delta w=\sqrt{\Delta t} \phi ,\phi \sim N(0,1)$ 。
在任意两个不互相重叠的时间区间上，变化量\Delta w是相互独立的。
第三个性质说明， w(t)服从马尔可夫过程，即w(t)在未来的概率分布只与当前值有关，而不依赖于在过去所遵循的特定路径。换句话说，该过程的当前值包含了对其未来做预测所需的全部信息。

利用matlab模拟[0,T]布朗运动

T=1; dt=1/1000; N=1001;
W=zeros(N,1); 
for i=2:N
W(i)=W(i-1)+sqrt(dt)*randn; % randn是生成标准正态随机变量
end
plot([0:dt:T],W)

一维布朗运动的走势和股票价格曲线的走势看着非常相似，这变引起人们利用它来描述股票价格走势的兴趣。

布朗运动 $\{w (t) , t \geq 0\}$ 的每一条轨道看起来是不光滑的，甚至是杂乱无章的，但它们是连续的。

值得注意的是布朗运动 $\{w (t) , t \geq 0\}$ 的轨道是不可微的。

事实上， $P( lim_{ \Delta t \rightarrow 0}|\frac {\Delta W_t}{\Delta t}> x)=1$

标准布朗运动不是描述股价运动的最佳选择：因为在任意一个时间区间上改变量的期望都是0.

在衍生产品定价中，我们假设服从 Black-sholes模型 $dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdw_t$ $\mu,\sigma$ 是常数

$dS_t$ 是资产价格在无穷小的时间间隔内的变化量

$dS_t/S_t$ 是这段时间内的收益率

所以 $dS_t/S_t=\mu dt+\sigma dw_t$

这里称 $S_t$ 是一个 几何布朗运动； $\mu$ 被称作资产阶级的期望收益率； $\sigma$ 被称为资产阶级的波动率。

假定 $G(S_t,t)$ 是t和 $S_t$ 的二元函数， $S_t$ 服从Ito过程 $dS_t=a(S_t,t)dt+b(S_t,t)dW_t$

用Ito定理计算 Ito积分

假设股票价格遵循几何布朗运动，即 $dS=\mu Sdt+\sigma SdW$ 假定f为依赖于S的衍生产品价格，f(S,t)，根据Ito定理

近似离散形式： $\Delta S=\mu S\Delta t+\sigma S\Delta dW$

由于投资组合在长度为\Delta t的时间上市无风险的，根据无套利原理，无风险投资组合的收益率等于无风险收益率，所以有

注：在BC方程中并未出现股票在真实世界里的期望回报率 $\mu$ ，代替的是无风险收益率，因此BC得到的期权价格和 $\mu$ 无关

通过求解 BC方程，欧式看涨与看跌期权的价格如下：

数理金融（六）