1. 关系代数

关系代数的运算可以分为传统的集合运算和关系运算

1.1. 传统的集合运算

是二目运算，包括 并、差、交、笛卡尔积四种运算。

1.1.1. 并（union）

由属于R或属于S的元组组成

1.1.2. 差（except）

属于R但是不属于S的元组组成

1.1.3. 交（intersection）

由既属于R又属于S的元组组成

1.1.4. 笛卡尔积

广义的笛卡尔积

R: n目关系，$k_1$个元组

S: m目关系，$k_2$个元组

R×S

列：（n+m）列元组的集合

元组的前n列是关系R的一个元组

后m列是关系S的一个元组

行： $k_1\times k_2$个元组 $R\times S= \{ \overline{t_r t_s}|t_r\in R\land t_s\in S \}$

1.2. 专门的关系运算

专门的关系运算包括选择、投影、链接、除运算等。

先引入几个记号

1. $R,t\in R$，t[$A_i$]

   设关系模式为$R(A_1,A_2,\cdots ,A_n)$

   它的一个关系设为R

   $t\in R$表示t是R的一个元组

   t[$A_i$]则表示元组t中相应于属性$A_i$的一个分量

2. $A,t[A],\overline{A}$

   若$A=\{A_{i1},A_{i2},\cdots ,A_{ik}\}$,其中$A_{i1},A_{i2},\cdots ,A_{ik}$是$A_1,A_2,\cdots ,A_n$中的一部分，则称A为属性列或属性组。

   $t[A]=(t[A_{i1}],t[A_{i2}],\cdots ,t[A_{ik}])$表示元组t在属性列A上诸分量的集合。

   $\overline{A}$则表示$\{A_1,A_2,\cdots ,A_n\}$中去掉$\{A_{i1},A_{i2},\cdots ,A_{ik}\}$后剩余的属性组。

3. $\overline{t_r t_s}$

   R为n目关系，S为m目关系

   $t_r\in R,t_s \in S$ ，$\overline{t_r t_s}$ 称为元组的连接

   $\overline {t_r t_s}$ 是一个n+m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量是S中的一个m元组

4. 象集$Z_x$

   给定一个关系 R(X,Z) ，X,Z是属性组

   当t[X]=x时，x在R中的象集为：

   $Z_x=\{t[Z]|t\in R, t[X]=x \}$

   它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上的分量的集合

1.2.1. 选择（selection）

选择又称为限制，是在关系R中寻找符合条件的元组

$\sigma_F(R)=\{t|t\in R\land F(t)= \text{‘真’} \}$

1.2.2. 投影（projection）

关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。

投影操作是在列的角度进行的运算

投影之后不仅可能取消某些列，还可能取消某些元组（由于重复行的缘故）

1.2.3. 连接（join）

$R\bowtie S=\{\overline{t_r t_s}|t_r\in R\land t_s\in S\land t_r[A]\theta t_s[B] \}$

从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。

A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组

θ：比较运算符

连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组

两类特殊的连接运算

等值连接

θ为“=”的连接运算称为等值运算

$R\bowtie _{A=B} S=\{\overline{t_r t_s}|t_r\in R\land t_s\in S\land t_r[A]\theta t_s[B] \}$

自然连接

自然连接是一种特殊的等值连接

两个关系中进行比较的分量必须是同名的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉

同时从行和列中进行运算

$R\bowtie S=\{ \overline{t_r t_s}[U-B]|t_r\in R\land t_s\in S\land t_r[B]=t_s[B] \}$

悬浮元组

在做自然连接的时候，关系R中某些元组有可能在S中不存在公共属性相同值的元组，这部分元组就会被舍弃，同样，S中也有部分被舍弃，这些被舍弃的元组就成为悬浮元组。

如果将悬浮元组也保留，其他属性上填NULL就佳作外连接

左外连接

只保留左边关系R中的悬浮元组

右外连接

只保留右边关系S中的悬浮元组

1.2.4. 除运算（division）

给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。

R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。

R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：

元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作：

Yx ：x在R中的象集，x = tr[X]

除操作是同时从行和列上进行运算的！

1.3. 小结

关系代数运算：并、差、交、笛卡尔积、投影、选择、连接、除

基本运算：并、差、笛卡尔积、投影、选择

专门关系运算：交、连接、除，可以用5种基本运算来表达，引进它们并不增加语言的能力，但可以简化表达。