1. 数理金融（三）

有无股息的欧式和美式看跌看涨期权

1.1. 期权价格的上限

1. 欧式或 者美式 看涨期权 给持有人以敲定价格买入一只股票的权利。所以金融直观上，无论什么情况 $c_t\leqslant S_t;C_t\leqslant S_t ,\forall t\in [0,T]$ 证明由 定理2.1

2. 欧式或者美式 看跌期权 给持有人以敲定价格出售一只股票的权利。无论什么情况，看跌期权的价格都不会超出执行价格，因此 $p_t\leqslant K,P_t\leqslant K,\forall t\in [0,T]$ 对于欧式看跌期权，我们可以得到一个更准确的上界： $\Phi_1$ :持有一张欧式看跌期权 $\Phi_2$ :持有在到期日T收益为K的无风险资产 $V_T(\Phi_1)=(K=S_T)^+\leqslant K=V_T(\Phi_2)$

3. 无股息 欧式看涨期权价格的下限： $c_t\geqslant (S_t-Ke^{-r(T-t)})^+ ,\forall t\in [0,T]$

4. 无股息 欧式看跌期权价格的下限： $p_t\geqslant (Ke^{-r(T-t)}-S_t)^+,\forall t\in [0,T]$

5. 看涨-看跌欧式期权的 平价公式 $c_t+Ke^{-r(T-t)}=p_t+S_t,\forall t\in [0,T]$ 这个公式非常重要，表明对于两张具有相同有效期，相同敲定价格的偶是看涨和看跌期权，只要知道其中任意一张期权的价格，由平价公式就可以的得到另一张期权的价格。 评价公式 不需要对股票价格模型提出假设 ，唯一的要求是无套利原理。

   <注>：本节课只在无套利原理下研究。

1.2. 股息对欧式期权价格的影响

我们用 D 来表示期权期限内的股息在0时刻的贴现值

1. 欧式看涨期权价格的下限： $c_0\geqslant (S_0-D-Ke^{rT})^+$

2. 欧式看跌期权价格的下限： $p_0\geqslant (D+Ke^{rT}-S_0)^+$

D是期权期限内(0,T)的股息在0时刻的贴现值。 注意 ：股息使看跌期权价格增加，而使看涨期权价格减少，原因是股息将使股票在除息日的价格降低，从而导致股票在期权到期日的价格降低。

1. 股息 对看涨-看跌欧式期权的评价公式的影响： 我们用 D 来表示期权期限内(0,T)的股息在0时刻的贴现值，则 $c_0+D+Ke^{-rT}=p_0+S_0$

   1.2.1. 3.美式期权价格的下限：

   1.美式期权有提前实施的条款，因此美式期权总是比相应欧式期权贵 $C_t\geqslant c_t,P_t\geqslant p_t,\forall t\in [0,T]$ 结论： 无股息时，投资者在到期日之前实施股票上的美式看涨期权永远不是最优选择！ 2.无股息时，美式看涨期权本质上和欧式看涨期权是等价的 3.有股息时，提早实施美式看涨期权 有可能是 最优的。 4.无股息 的 美式看跌期权 的价格下限： $P_t\geqslant (K-S_t)^+,\forall t\in [0,T]$ 也就是说，在没有股息的情况下，持有人更倾向于提前实施 5.有股息 的 美式看跌期权 价格下限： $P_t\geqslant max\{(D+Ke^{-rT}-S_0)^+,(K-S_t)^+ \},\forall t\in [0,T]$

   6.美式看涨-看跌期权的“平价公式” 当没有股息的时候： $S_t-K\leqslant C_t-P_t\leqslant S_t=Ke^{-r(T-t)},\forall t\in [0,T]$ 当有股息的时候： $S_0-D-K\leqslant C_0-P_0\leqslant S_0-Ke^{-rT}$